数学のブログ

多変数の関数 反復偏微分 2変数の関数、逆正接関数、2階微分、等式

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3章(多変数の関数)、4(反復偏微分)の練習問題21の解答を求めてみる。

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ 2 ∂ x 2 arctan ( y x )
= ∂ ∂ x ( - y x 2 · 1 1 + y 2 x 2 )
= - ∂ ∂ x y x 2 + y 2
= 2 x y ( x 2 + y 2 ) 2
∂ 2 ∂ y 2 arctan y x
= ∂ ∂ y 1 x 1 1 + y 2 x 2
= ∂ ∂ y x x 2 + y 2
= - 2 x y ( x 2 + y 2 ) 2

よって、

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[x_, y_] := ArcTan[y / x]

D[f[x, y], {x, 2}]
Output
Simplify[%]
Output
D[f[x, y], {y, 2}]
Output
Simplify[%]
Output
D[f[x, y], {x, 2}] + D[f[x, y], {y, 2}]
Output
Simplify[%]

0
fs = {
    f[x, y],
    D[f[x, y], {x, 1}],
    D[f[x, y], {x, 2}],
    D[f[x, y], {y, 1}],
    D[f[x, y], {y, 2}]
};

Plot3D[
    fs,
    {x, -Pi, Pi},
    {y, -Pi, Pi},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output
Plot3D[
    fs[[1]],
    {x, -Pi, Pi},
    {y, -Pi, Pi},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output
Plot3D[
    fs[[2]],
    {x, -Pi, Pi},
    {y, -Pi, Pi},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output
Plot3D[
    fs[[3]],
    {x, -Pi, Pi},
    {y, -Pi, Pi},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output
Plot3D[
    fs[[4]],
    {x, -Pi, Pi},
    {y, -Pi, Pi},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output
Plot3D[
    fs[[5]],
    {x, -Pi, Pi},
    {y, -Pi, Pi},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output