数学のブログ

多変数の関数 反復偏微分 順序、指数関数、三角関数(正弦と余弦と逆正接)、累乗、合成関数の微分

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3章(多変数の関数)、4(反復偏微分)の練習問題1、2、３、4、5、6、7、8、9、10.の解答を求めてみる。

1

D 1 D 2 f
= D 1 D 2 e x y
= D 1 x e x y
= e x y + x y e x y
D 2 D 1 e x y
= D 2 y e x y
= e x y + x y e x y

よって、

D 1 D 2 f = D 2 D 1 f

2

D x D y sin ( x y ) = D x x cos ( x y ) = cos ( x y ) - x y sin ( x y )
D y D x sin ( x y ) = D y y cos ( x y ) = cos ( x y ) - x y sin ( x y )

3

D x D y ( x 2 y 3 + 3 x y ) = D x ( 3 x 2 y 2 + 3 x ) = 6 x y 2 + 3
D y D x ( x 2 y 3 + 3 x y ) = D y ( 2 x y 3 + 3 y ) = 6 x y 2 + 3

4

D x D y ( 2 x y + y 2 ) = D x ( 2 x + 2 y ) = 2
D y D x ( 2 x y + y 2 ) = D y ( 2 y ) = 2

5

D x D y e x 2 + y 2 = D x 2 y e x 2 + y 2 = 4 x y e x 2 + y 2
D y D x e x 2 + y 2 = D y 2 x e x 2 + y 2 = 4 x y e x 2 + y 2

6

D x D y sin ( x 2 + y ) = D x cos ( x 2 + y ) = - 2 x sin ( x 2 + y )
D y D x sin ( x 2 + y ) = D y 2 x cos ( x 2 + y ) = - 2 x sin ( x 2 + y )

7

D x D y cos ( x 3 + x y ) = D x ( - x sin ( x 3 + x y ) ) = - sin ( x 3 + x y ) - x ( 3 x 2 + y ) cos ( x 3 + x y )
D y D x cos ( x 3 + x y ) = D y ( - ( 3 x 2 + y ) sin ( x 3 + x y ) ) = - sin ( x 3 + x y ) - x ( 3 x 2 + y ) cos ( x 3 + x y )

8

D x D y arctan ( x 2 - 2 x y ) = D x - 2 x 1 + ( x 2 - 2 x y ) 2 = - 2 ( 1 + ( x 2 - 2 x y ) 2 ) + 2 x 2 ( x 2 - 2 x y ) ( 2 x - 2 y ) ( 1 + ( x 2 - 2 x y ) 2 ) 2
D y D x arctan ( x 2 - 2 x y ) = D y 2 x - 2 y 1 + ( x 2 - 2 x y ) 2 = - 2 ( 1 + ( x 2 - 2 x y ) 2 ) + ( 2 x - 2 y ) 2 ( x 2 - 2 x y ) 2 x ( 1 + ( x 2 - 2 x y ) 2 ) 2

9

D x D y e x + y = D x e x + y = e x + y
D y D x e x + y = D y e x + y = e x + y

10

D x D y sin ( x + y ) = D x cos ( x + y ) = - sin ( x + y )
D y D x sin ( x + y ) = D y cos ( x + y ) = - sin ( x + y )

コード(Wolfram Language, Jupyter)

fs = {Exp[x y], Sin[x y], x^2 y^3 + 3x y, 2 x y + y^2,
      Exp[x^2 + y^2], Sin[x^2 + y], Cos[x^3 + x y], ArcTan[x^2-2 x y],
      Exp[x + y], Sin[x + y]}
Output
Length[fs]

10
Column[
    Table[
        {f, D[f, x, y], D[f, y, x], f, D[f, x, y] == D[f, y, x]},
        {f, fs}
    ]
]
Output
Table[
    Plot3D[f, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}],
    {f, fs}
]
Output