変数と関数いろいろな関数関数方程式、指数関数、連続性、有理数、稠密

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微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第2章(変数と関数)、2-1(いろいろな関数)、例2.2の類題の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} f (1 + 0) = f (1) \cdot f (0) \\ f (1) = f (1) \cdot f (0) \\ c = c f (0) \\ f (0) = 1 \end{array}

\begin{array}{l} k \in ℤ \\ f (k) = 0 \end{array}

と仮定すると

\begin{array}{l} f (k + 1) = f (x) f (1) = 0 \\ f (k - 1) = f (x) f (- 1) = 0 \end{array}

となり、帰納法によりすべての整数k に対して

f (k) = 0

となるが、

f (1) = c \neq 0

よって矛盾。

ゆえに、

\begin{array}{l} k \in ℤ \\ f (k) \neq 0 \end{array}

\begin{array}{l} f (2 x) = f (x + x) = f (x) f (x) = f {(x)}^{2} \\ f (2 x + x) = f (2 x) f (x) \\ f (3 x) = f {(x)}^{2} f (x) \\ f (3 x) = f {(x)}^{3} \\ f (x - x) = f (x) f (- x) \\ f (0) = f (x) f (- x) \\ f (x) f (- x) = 1 \\ f (- x) = f {(x)}^{- 1} \end{array}

\begin{array}{l} n \in ℕ \\ f (n x) = f ((n - 1) x + x) = f ((n - 1) x) f (x) = f {(x)}^{n - 1} f (x) = f {(x)}^{n} \\ f (- n x) = f ((- n + 1) x - x) = f ((- n + 1) x) f (- x) = f {(x)}^{- n + 1} f {(x)}^{- 1} = f {(x)}^{- n} \end{array}

よって帰納法により、

\begin{array}{l} n \in ℤ \\ f (n x) = f {(x)}^{n} \end{array}

f (n) = f (n \cdot 1) = f {(1)}^{n} = c^{n}

\begin{array}{l} c = f (1) = f (n \cdot \frac{1}{n}) = f {(\frac{1}{n})}^{n} \\ f (\frac{1}{n}) = c^{\frac{1}{n}} \end{array}

よって、

f (\frac{n}{m}) = f {(\frac{1}{m})}^{n} = f {(1)}^{\frac{n}{m}} = c^{\frac{n}{m}}

また、

\frac{n}{m} \in ℚ

で有理数は稠密であるから、 f の連続性により、任意の実数に対して、

f (x) = c^{x}