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合成微分律と勾配ベクトル 接平面 2曲面の交わりの曲線の接線のパラメーター方程式、2接平面の交わりの直線

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、2(接平面)の練習問題3の解答を求めてみる。

a

曲面

x 2 + y 2 + z 2 = 49

の 点

( 3 , 2 , - 6 )

における接平面に垂直なベクトルを求める。

f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2

とおくと、

g r a d f ( X ) = ( 2 x , 2 y , 2 z ) = 2 ( x , y , z )

よって求めるベクトルは

( 3 , 6 , - 1 )
x 2 + y 2 = 13

についても同様に、

g r a d g ( x , y , z ) = ( 2 x , 2 y , 0 ) = 2 ( x , y , 0 ) ( 3 , 6 , 0 )

求める接線は、この2つのベクトルに垂直な点

( 3 , 2 , - 6 )

を通る直線なので、 2つのベクトルに垂直なベクトルの1つを求める。

( a , b , c ) · ( 3 , 2 , - 6 ) = 0 ( a , b , c ) · ( 3 , 2 , 0 ) = 0
3 a + 2 b - 6 c = 0 3 a + 2 b = 0
a = 2 b = - 3 c = 0 ( 2 , - 3 , 0 )

よって、求める2曲線の交わりの曲線の指定された点における接線のパラメーター方程式は、

( x , y , z ) = ( 3 , 2 , - 6 ) + t ( 2 , - 3 , 0 )

b

g r a d f ( X ) = ( y , x , 1 ) g r a d f ( 2 , 1 , - 2 ) = ( 1 , 2 , 1 ) g r a d g ( X ) = ( 2 x , 2 y , 2 z ) = 2 ( x , y , z ) g r a d ( 2 , 1 , - 2 ) = 2 ( 2 , 1 , - 2 )
a + 2 b + c = 0 2 a + b - 2 c = 0
4 a + 5 b = 0 b = - 4 5 a c = - a - 2 b ( 5 , - 4 , - 5 + 8 ) = ( 5 , - 4 , 3 )
X = ( 2 , 1 , - 2 ) + t ( 5 , - 4 , 3 )

c

g r a d f ( X ) = ( 2 x , - 2 y , - 2 z ) = 2 ( x , - y , - z ) g r a d f ( 3 , 2 , 2 ) = 2 ( 3 , - 2 , - 2 ) g r a d g ( X ) = ( 2 x , - 2 y , 2 z ) = 2 ( x , - y , z ) g r a d ( 3 , 2 , 2 ) = 2 ( 3 , - 2 , 2 )
3 a - 2 b - 2 c = 0 3 a - 2 b + 2 c = 0
c = 0 3 a - 2 b = 0 ( 2 , 3 , 0 )
X = ( 3 , 2 , 2 ) + t ( 2 , 3 , 0 )

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Show[
    ContourPlot3D[
        {x^2+y^2+z^2 == 49, x^2+y^2 == 13},
        {x, -7, 13}, {y, -8, 12}, {z, -16, 4},
        AxesLabel -> Automatic
    ],
    ParametricPlot3D[{3, 2, -6}+t{2, -3, 0}, {t, -10, 10}]
]
Output
Show[
    ContourPlot3D[
        {x y + z == 0, x^2+y^2+z^2 == 9},
        {x, -3, 7}, {y, -4, 6}, {z, -7, 3},
        AxesLabel -> Automatic
    ],
    ParametricPlot3D[{2, 1, -2}+t{5, -4, 3}, {t, -10, 10}]
]
Output
Show[
    ContourPlot3D[
        {x^2-y^2-z^2 == 1, x^2-y^2+z^2 == 9},
        {x, -7, 13}, {y, -8, 12}, {z, -8, 12},
        AxesLabel -> Automatic
    ],
    ParametricPlot3D[{3, 2, 2} + t{2, 3, 0}, {t, -10, 10}]
]
Output