数学のブログ

合成微分律と勾配ベクトル 接平面 法線、方程式

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、2(接平面)の練習問題1の解答を求めてみる。

a

g r a d f ( x , y , z ) = g r a d ( x 2 + y 2 + z 2 ) = ( 2 x , 2 y , 2 z )
g r a d f ( 6 , 2 , 3 ) = ( 12 , 4 , 6 )

接平面の方程式。

12 x + 4 y + 6 z = 12 · 6 + 4 · 2 + 6 · 3 6 x + 2 y + 3 z = 36 + 4 + 9 6 x + 2 y + 3 z = 49

法線の方程式。

( x , y , z ) = ( 6 , 2 , 3 ) + t ( 12 , 4 , 6 ) = s ( 6 , 2 , 3 )

b

g r a d f ( x , y , z ) = ( y + z , z + x , x + y )
g r a d f ( 1 , 1 , 0 ) = ( 1 , 1 , 2 )
x + y + 2 z = ( 1 , 1 , 2 ) · ( 1 , 1 , 0 ) x + y + 2 z = 2
( x , y , z ) = ( 1 , 1 , 0 ) + t ( 1 , 1 , 2 )

c

g r a d f ( x , y , z ) = ( 2 x + y 2 , 2 x y + 3 y 2 , 1 )
g r a d f ( 2 , - 3 , 4 ) = ( 4 + 9 , - 12 + 27 , 1 ) = ( 13 , 15 , 1 )
13 x + 15 y + z = 26 - 45 + 4 13 x + 15 y + z = - 15
( x , y , z ) = ( 2 , - 3 , 4 ) + t ( 13 , 15 , 1 )

d

g r a d f ( x , y , z ) = ( - 3 z , 2 , - 3 z 2 - 3 x )
g r a d f ( 1 , 7 , 2 ) = ( - 6 , 2 , - 12 - 3 ) = ( - 6 , 2 , - 15 )
- 6 x + 2 y - 15 z = - 6 + 14 - 30 6 x - 2 y + 15 z = 22
( x , y , z ) = ( 1 , 7 , 2 ) + t ( 6 , - 2 , 15 )

e

g r a d f ( x , y , z ) = ( 2 x y 2 + z , 2 x 2 y - 6 y 2 , x )
g r a d f ( 2 , 1 , 4 ) = ( 4 + 4 , 8 - 6 , 2 ) = ( 8 , 2 , 2 )
4 x + y + z = 8 + 1 + 4 4 x + y + z = 13
( x , y , z ) = ( 2 , 1 , 4 ) + t ( 4 , 1 , 1 )

f

g r a d f ( x , y , z ) = ( y cos x y + z cos x z , z cos y z + x cos x y , x cos z x + y cos y z )
g r a d f ( 1 , π 2 , 0 ) = ( 0 , 0 , 1 + π 2 )
z = 0
( x , y , z ) = ( 1 , π 2 , 0 ) + t ( 0 , 0 , 1 )

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Show[
    ContourPlot3D[
        {x^2 + y^2+z^2 == 49,
         6x + 2y + 3z == 49},
         {x, 1, 11},
         {y, -3, 7},
         {z, -2, 8}
    ],
    ParametricPlot3D[
        t {6, 2, 3},
        {t, -5, 5}
    ]
]
Output