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合成微分律と勾配ベクトル 接平面 曲面、点、法線ベクトル、垂直、内積

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、2(接平面)の練習問題5の解答を求めてみる。

a

g ( x , y , z ) = x 2 + y 2 - z g r a d g ( x , y , z ) = ( 2 x , 2 y , - 1 ) g r a d g ( 3 , 4 , 25 ) = ( 6 , 8 , - 1 )
6 x + 8 y - z = 18 + 32 - 25 6 x + 8 y - z = 25

b

g ( x , y , z ) = x ( x 2 + y 2 ) 1 2 - z g r a d g ( x , y , z ) = ( ( x 2 + y 2 ) 1 2 - x · 1 2 ( x 2 + y 2 ) - 1 2 2 x x 2 + y 2 , - x y ( x 2 + y 2 ) - 1 2 x 2 + y 2 , - 1 ) = ( ( x 2 + y 2 ) 1 2 - x 2 ( x 2 + y 2 ) - 1 2 x 2 + y 2 , - x y ( x 2 + y 2 ) - 3 2 , - 1 )
g r a d g ( 3 , - 4 , 3 5 ) = ( 5 - 9 · 1 5 25 , 12 125 , - 1 ) = ( 16 125 , 12 125 , - 1 ) = 1 125 ( 16 , 12 , - 125 )
16 x + 12 y - 125 z = 48 - 48 - 75 16 x + 12 y - 125 z = - 75

c

g r a d g ( x , y , z ) = ( y cos x y , x cos x y , - 1 ) g r a d g ( 1 , π , 0 ) = ( - π , - 1 , - 1 ) = - ( π , 1 , 1 ) π x + y + z = π + π = 2 π

コード(Wolfram Language, Jupyter)

ContourPlot3D[
    {
        x^2+y^2-z == 0,
        6x+8y-z==25
    },
    {x, 0, 10},
    {y, 0, 10},
    {z, 20, 30}
]
Output
ContourPlot3D[
    {
        x/(x^2+y^2)^(1/2) == z,
        16x+12y-125z == -75
    },
    {x, 2, 4},
    {y, -5, -3},
    {z, -1, 1}
]
Output
ContourPlot3D[
    {
        Sin[x y] == z,
        Pi x + y + z == 2Pi
    },
    {x, -5, 5},
    {y, -5, 5},
    {z, -5, 5}
]
Output