合成微分律と勾配ベクトル接平面微分可能な曲面上の微分可能な曲線と点との距離、垂直、内積

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、2(接平面)の練習問題4の解答を求めてみる。

距離。

∥ X (t) - Q ∥

最小値に達する場合について。

g (t) = {∥ X (t) - Q ∥}^{2} = (X (t) - Q) \cdot (X (t) - Q)

とおくと、

g' (t) = X' (t) \cdot (X (t) - Q) + (X (t) - Q) \cdot X' (t) = 2 X' (t) \cdot (X (t) - Q)

問題の仮定より、gは

t = t_{0}

のとき最小となるので、

\begin{array}{l} g' (t_{0}) = 0 \\ 2 X' (t_{0}) \cdot (X (t_{0}) - Q) = 0 \\ X' (t_{0}) \cdot (X (t_{0}) - Q) = 0 \\ X' (t_{0}) \cdot (P - Q) = 0 \end{array}

よって、QとPと結ぶ直線は Pにおいて、曲線に垂直である。

（証明終）