合成微分律と勾配ベクトル合成微分律曲線、内積、連立方程式の解、三角関数(正弦)、指数関数

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、1(合成微分律)の練習問題3の解答を求めてみる。

f (x) = \cos x

とおく。

\begin{array}{l} f^{(1)} (x) = - \sin x \\ f^{(2)} (x) = - \cos x \\ f^{(3)} (x) = \sin x \\ f^{(4)} (x) = \cos x \end{array}

\begin{array}{l} f^{(2 n)} (0) = {(- 1)}^{n} \\ f^{(2 n + 1)} (0) = 0 \end{array}

よって、

\cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}

（証明終）

```mma Plot3D[Exp[9x+2y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, AxesLabel -> Automatic, PlotRange -> {0, 10}] ```

Plot3D[Sin[4x+y], {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi},
       AxesLabel -> Automatic]