合成微分律と勾配ベクトル合成微分律内積

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、1(合成微分律)の練習問題1の解答を求めてみる。

f、 gを問題の関数全体の集合の任意の元とし、

\begin{array}{l} f (e^{i θ}) = \sum_{n = 0}^{N} c_{n} e^{i n θ} \\ g (e^{i θ}) = \sum_{n = 0}^{M} d_{n} e^{i n θ} \end{array}

とおく。

Cを任意の複素数とする。

このとき、

N \leq M

のとき、

\begin{array}{l} f (e^{i θ}) + g (e^{i θ}) \\ = \sum_{n = 0}^{N} (c_{n} + d_{n}) e^{i θ} + \sum_{n = N + 1}^{M} d_{n} e^{i θ} \end{array}

c f (e^{i θ}) = \sum_{n = 0}^{N} (c c_{n}) e^{i θ}

\begin{array}{l} f (e^{i θ}) g (e^{i θ}) \\ = \sum_{n = 0}^{N + M} h_{n} e^{i n θ} \\ h_{n} = (c_{j} d_{k}) e^{i n θ} (j + k = n) \end{array}

よって、関数環である。

N \geq M

のときも同様。

任意の

e^{i α}, e^{i β} \in X

に対して、

e^{i α} \neq e^{i β}

のとき、

g (e^{i θ}) = 1 \cdot e^{i θ}

とおけば、 gは問題の関数全体の集合の元で

g (e^{i α}) \neq g (e^{i β}) /

よって、Xの点を分離する。

また、

g (e^{i α}) \neq 0

なのでXのどの点も零化しない。

（証明終）

g (θ) = e^{- i θ}

とおく。

これは

C_{c} (x)

の元である。

また、

\int_{0}^{2 π} e^{- i θ} e^{i θ} d θ = \int_{0}^{2 π} 1 d θ = 2 π \neq 0

よって、 gは問題の関数全体の集合の閉包の元ではない。

ゆえに、問題の関数全体の集合の閉包は

C_{c} (x)

と一致しない。

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

p = {1, -2};
a = {3, -4};

f[x_, y_] := 2 x Sin[y]

g[t_] := f[(p + t a)[[1]], (p + t a)[[2]]]

g'[t]

Simplify[%]

Grad[f[x, y], {x, y}]

v = p + t a

{2 Sin[v[[2]]], 2 v[[1]] Cos[v[[2]]]}

% . a

% == g'[t]

Plot3D[
    f[x, y],
    {x, -5, 5},
    {y, -5, 5},
    AxesLabel -> Automatic
]