ベクトル n次元ベクトル大きさ、内積、余弦、なす角

学習環境

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第1章(ベクトル)、1-3(n次元ベクトル)、問題1の解答を求めてみる。

| (1, 2, 1, 3) | = \sqrt{1 + 4 + 1 + 9} = \sqrt{15}

\cos θ = \frac{(1, 2, 1, 3) \cdot (1, 3, - 1, - 2)}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{1 + 9 + 1 + 4}} = \frac{1 + 6 - 1 - 6}{15} = 0

よって、求めるベクトルa、bのなす角は

\frac{π}{2}

(2 a - 3 b) \cdot a = 2 {| a |}^{2} - 3 b \cdot a = 2 \cdot 15 = 30

\cos φ = \frac{30}{| 2 a - 3 b | | a |}

= \frac{30}{| (2, 4, 2, 6) - (3, 9, - 3, - 6) | \sqrt{15}}

= \frac{30}{| (- 1, - 5, 5, 12) | \sqrt{15}}

= \frac{30}{\sqrt{1 + 25 + 25 + 144} \sqrt{15}}

= \frac{30}{\sqrt{195} \sqrt{15}}

= \frac{30}{\sqrt{15 \cdot 13} \sqrt{15}}

= \frac{2}{\sqrt{13}}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = {1, 2, 1, 3};
b = {1, 3, -1, -2};
c = 2 a - 3 b;

Norm[a]

Solve[Cos[x] == a . b / (Norm[a] Norm[b]), x]

c . a

c . a / (Norm[c] Norm[a])