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ベクトル n次元ベクトル 一次結合、一次独立か一次従属か

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (浅野 功義(著)、大関 清太(著)、岩波書店)の第1章(ベクトル)、1-3(n次元ベクトル)、問題4の解答を求めてみる。

1

c 1 ( a + b ) + c 2 ( b + c ) + c 3 ( c + a ) = O ( c 3 + c 1 ) a + ( c 1 + c 2 ) b + ( c 2 + c 3 ) c = O

問題の仮定よりベクトルa、b、 c は 1次独立なので、

c 1 + c 2 = 0 c 2 + c 3 = 0 c 3 + c 1 = 0
c 2 = - c 1 c 3 = - c 2 = c 1 c 1 + c 1 = 0 2 c 1 = 0 c 1 = 0 c 2 = 0 c 3 = 0

よって、ベクトル

a + b , b + c , c + a

は1次独立である。

2

c 1 ( a - b ) + c 2 ( b - c ) + c 3 ( c - a ) = O ( c 1 - c 3 ) a + ( c 2 - c 1 ) b + ( c 3 - c 2 ) c = O
c 1 - c 3 = 0 c 2 - c 1 = ∂ c 3 - c 2 = 0
c 3 = c 1 c 2 = c 3 = c 1

よって1次従属。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = RandomInteger[{-10, 10}, {3}]
b = RandomInteger[{-10, 10}, {3}]
c = RandomInteger[{-10, 10}, {3}]

{9, -10, -9}
{7, -6, -8}
{3, 10, -5}
a . b

195
b . c

1
c . a

-28
o = {0, 0, 0};

Solve[c1 a + c2 b + c3 c == o, {c1, c2, c3}]
Output
Solve[c1 (a + b) + c2 (b + c) + c3 (c + a) == o, {c1, c2, c3}]
Output
Solve[c1 (a - b) + c2 (b - c) + c3 (c - a) == o, {c2, c3}]
Output
Graphics3D[
    {
        Red, Arrow[{o, a}],
        Green, Arrow[{o, b}],
        Blue, Arrow[{o, c}]
    },
    BoxRatios -> {1, 1, 1}
]
Output
Graphics3D[
    {
        Red, Arrow[{o, a + b}],
        Green, Arrow[{o, b + c}],
        Blue, Arrow[{o, c + a}]
    },
    BoxRatios -> {1, 1, 1}
]
Output
Graphics3D[
    {
        Red, Arrow[{o, a - b}],
        Green, Arrow[{o, b - c}],
        Blue, Arrow[{o, c - a}]
    },
    BoxRatios -> {1, 1, 1}
]
Output