ベクトルベクトルの演算長さとノルム、パップスの定理、中線定理

学習環境

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第1章(ベクトル)、1-1(ベクトルの演算)、問題1の解答を求めてみる。

{| a + b |}^{2} + {| a - b |}^{2}

= (a + b) \cdot (a + b) + (a - b) \cdot (a - b)

= a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b + a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b

= {| a |}^{2} + {| b |}^{2} + {| a |}^{2} + {| b |}^{2}

= 2 ({| a |}^{2} + {| b |}^{2})

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = {x1, y1, z1};
b = {x2, y2, z2};

Norm[a + b]^2 + Norm[a - b]^2 == 2(Norm[a]^2 + Norm[b]^2)

Simplify[%]

a = RandomReal[{-100, 100}, {3}]

{72.6565, -70.6433, -30.105}

b = RandomReal[{-100, 100}, {3}]

{-3.15166, 74.5818, -48.043}

Norm[a + b]^2 + Norm[a - b]^2 == 2(Norm[a]^2 + Norm[b]^2)