ベクトルベクトルと座標四辺形、頂点、ベクトル、一次独立、直線上、交点

線形代数演習
〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉
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学習環境

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第1章(ベクトル)、1-2(ベクトルと座標)、問題4の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \vec{O E} = t \vec{O A} = t a \\ \vec{O E} = \vec{O B} + s (\vec{O C} - \vec{O B}) \\ = (1 - s) \vec{O B} + s \vec{O C} \\ = (1 - s) b + s (\frac{1}{2} a + \frac{2}{3} b) \\ = \frac{1}{2} s a + (1 - \frac{1}{3} s) b \end{array}

よって、

\begin{array}{l} \frac{1}{2} s = t \\ 1 - \frac{1}{3} s = 0 \end{array}

\begin{array}{l} s = 3 \\ t = \frac{3}{2} \end{array}

ゆえに、

\vec{O E} = \frac{3}{2} a

\vec{B E} = \vec{O E} - \vec{O B} = \frac{3}{2} a - b

\begin{array}{l} \vec{O F} = t \vec{O A} + (1 - t) \vec{O B} = t a + (1 - t) b \\ \vec{O F} = s \vec{O C} = \frac{1}{2} s a + \frac{2}{3} s b \end{array}

\begin{array}{l} \frac{1}{2} s = t \\ 1 - t = \frac{2}{3} s \end{array}

\begin{array}{l} 1 - \frac{1}{2} s = \frac{2}{3} s \\ s = \frac{6}{7} \\ t = \frac{3}{7} \end{array}

\vec{O F} = \frac{3}{7} a + \frac{4}{7} b

\vec{B F} = \vec{O F} - \vec{O B} = \frac{3}{7} a - \frac{3}{7} b

コード(Wolfram Language, Jupyter)

o = {0, 0};
a = {5, 0};
b = {2, 3};
c = 1/2 a + 2/3 b;
e = 3/2 a;
be = 3/2 a - b;
f=3/7 a + 4/7 b;
bf=3/7 a - 3/7 b;

Graphics[
    {
        Red, Arrow[{o, a}],
        Green, Arrow[{o, b}],
        Blue, Arrow[{o, c}],
        Brown, Arrow[{o, e}],
        Orange, Arrow[{o, be}],
        Arrow[{b, e}],
        Purple, Arrow[{o, f}],
        Pink, Arrow[{o, bf}],
        Arrow[{b, f}]
    }
]