ベクトルベクトルと座標和と差、絶対値、内積、単位ベクトル、余弦、平行四辺形の面積、垂直

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線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第1章(ベクトル)、1-2(ベクトルと座標)、問題1の解答を求めてみる。

3 a - 2 b = 3 (1, 2) - 2 (- 5, 3) = (3, 6) + (10, - 6) = (13, 0)

| a | = | (1, 2) | = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}

a \cdot b = (1, 2) \cdot (- 5, 3) = - 5 + 6 = 1

c = \frac{b}{| b |} = \frac{(- 5, 3)}{\sqrt{25 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{34}} (- 5, 3)

\cos θ = \frac{a \cdot b}{| a | | b |} = \frac{1}{\sqrt{1 + 4} \sqrt{34}} = \frac{1}{\sqrt{170}}

S = | a | | b | \sin θ = \sqrt{5} \sqrt{34} \sqrt{1 - \frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{34}}} = \sqrt{170 - 1} = \sqrt{169} = 13

7
求める単位ベクトルを

e = (x, y)

とおくと、

\begin{array}{l} | e | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 1 \\ a \cdot e = x + 2 y = 0 \end{array}

\begin{array}{l} x = - 2 y \\ 4 y^{2} + y^{2} = 1 \\ y^{2} = \frac{1}{5} \\ y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \\ x = \mp \frac{2}{\sqrt{5}} \end{array}

よって、求めるベクトルaと垂直な単位ベクトルは

(\pm \frac{2}{\sqrt{5}}, \mp \frac{1}{\sqrt{5}})

（複号同順）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = {1, 2};
b = {-5, 3};

3a-2b

{13, 0}

Norm[a]

a . b

b / Norm[b]

a . b / (Norm[a] Norm[b])

Norm[a] Norm[b] Sqrt[1 - %^2]

v = {x, y}

{x, y}

Solve[a . v == 0 && Norm[v] == 1, v]