ベクトルベクトルと座標内積、絶対値、平方根、シュワルツの不等式の証明

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線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第1章(ベクトル)、1-2(ベクトルと座標)、問題3の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} a \cdot b = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} \\ a \cdot a = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2} \geq 0 \\ b \cdot b = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2} \geq 0 \end{array}

である。

また、 xを実数とすると、

\sum_{k = 1}^{n} {(a_{k} x + b_{k})}^{2} \geq 0

\sum_{k = 1}^{n} (a_{k}^{2} x^{2} + 2 a_{k} b_{k} x + b_{k}^{2}) \geq 0

(\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}) x^{2} + 2 (\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k}) x + \sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2} \geq 0

(a \cdot a) x^{2} + 2 (a \cdot b) x + b \cdot b \geq 0

が成り立つので、係数について、

\frac{D}{4} = {(a \cdot b)}^{2} - (a \cdot a) (b \cdot b) \leq 0

が成り立つ。

よって、

{(a \cdot b)}^{\cdot 2} \leq (a \cdot a) (b \cdot b)

{| a \cdot b |}^{2} \leq (a \cdot a) (b \cdot b)

| a \cdot b | \leq \sqrt{(a \cdot a) (b \cdot b)}

| a \cdot b | \leq \sqrt{a \cdot a} \sqrt{b \cdot b}