数学のブログ

ベクトル ベクトルと座標 一次結合、一次独立、一時従属

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (浅野 功義(著)、大関 清太(著)、岩波書店)の第1章(ベクトル)、1-2(ベクトルと座標)、問題2の解答を求めてみる。

c 1 ( 1 , 1 ) + c 2 ( 1 , - 1 ) + c 3 ( 2 , 3 ) = ( 0 , 0 )
( c 1 + c 2 + 2 c 3 , c 1 - c 2 + 3 c 3 ) = ( 0 , 0 )
{ c 1 + c 2 + 2 c 3 = 0 c 1 - c 2 + 3 c 3 = 0
2 c 1 + 5 c 3 = 0 c 3 = - 2 5 c 1 c 2 = - c 1 - 2 c 3 = - c 1 + 4 5 c 1 = - 1 5 c 2

よって、

c 1 = 5 , c 2 = - 1 , c 3 = - 2

のとき、

c 1 ( 1 , 1 ) + c 2 ( 1 , - 1 ) + c 3 ( 2 , 3 ) = ( 0 , 0 )

が成り立つので、 ベクトルa、b、 cは 1次独立ではない。すなわち1次従属である。

ベクトルaをb、 cで表すと

a = 1 5 b + 2 5 c

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = {1, 1};
b = {1, -1};
c = {2, 3};

Solve[c1 a + c2 b + c3 c == {0, 0}, {c1, c2, c3}]

Equations may not give solutions for all "solve" variables.: Equations may not give solutions for all "solve" variables.
Output
% /. {c1 -> 1}
Output
o = {0, 0}

{0, 0}
Graphics[
    {
        Red, Thick, Arrow[{o, a}],
        Green, Arrow[{o, b}],
        Blue, Arrow[{o, c}],
        Brown, Dashed, Arrow[{o, b/5 + 2c/5}]
    },
    Axes -> True
]
Output