ベクトルの基本的性質ベクトルの成分方向余弦、向き、単位ベクトル

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ベクトル解析演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (戸田盛和(著)、渡辺慎介(著)、岩波書店)の第1章(ベクトルの基本的性質)、1-2(ベクトルの成分)、問題2の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} A_{x} = | A | l \\ A_{y} = | A | m \\ A_{z} = | A | n \end{array}

A = | A | l i + | A | m j + | A | n k

A = | A | (l i + m j + n k)

Aの向きの単位ベクトル。

e_{A} = \frac{A}{| A |} = l i + m j + n k

この絶対値を実際に計算。

| e_{A} | = \frac{A}{| A |}

= \frac{| A |}{\sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2} + A_{z}^{2}}}

= \frac{| A |}{\sqrt{{| A |}^{2} l^{2} + {| A |}^{2} m^{2} + {| A |}^{2} n^{2}}}

= \frac{| A |}{| A | \sqrt{l^{2} + m^{2} + n^{2}}}

= \frac{1}{\sqrt{1}}

= 1

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = {x, y, z};

l = x / Norm[a];
m = y / Norm[a];
n = z / Norm[a];

i = {1, 0, 0};
j = {0, 1, 0};
k = {0, 0, 1};

Norm[a] (l i + m j + n k)

{x, y, z}

% == a

ea = a / Norm[a]

l i + m j + n k

% == ea

Norm[ea]

Simplify[%, Element[{x, y, z}, Reals]]