ベクトルの基本的性質ベクトルの成分延長上の点、パラメーター直線、座標に変換

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ベクトル解析演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (戸田盛和(著)、渡辺慎介(著)、岩波書店)の第1章(ベクトルの基本的性質)、1-2(ベクトルの成分)、問題3の解答を求めてみる。

例題1.4の直線は2点、

(0, 0), (\sqrt{3}, 1)

を通る。

よって、この直線を上方に1だけずらした直線は2点

(0, 1), (\sqrt{3}, 2)

を通る。

この位置ベクトルをそれぞれ

r_{1} = (0, 1) = j, r_{2} = (\sqrt{3}, 2) = \sqrt{3} i + 2 j

とおく。

このとき、

r - r_{1} = t (r_{2} - r_{1})

(x i + y j) - j = t (\sqrt{3} i + j)

x i + (y - 1) j = \sqrt{3} t i + t j

よって、

\begin{array}{l} x = \sqrt{3} t \\ y - 1 = t \end{array}

\begin{array}{l} x = \sqrt{3} (y - 1) \\ x - \sqrt{3} y + \sqrt{3} = 0 \\ y = \frac{x}{\sqrt{3}} + 1 \end{array}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Plot[{1/Sqrt[3]x, x/Sqrt[3]+1}, {x, -5, 5}, PlotLegends -> "Expressions"]