数学のブログ

ベクトルの基本的性質 スカラー積 2点を通る直線の方程式、原点、垂線の長さ、方向余弦

ベクトル解析演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (戸田 盛和(著)、渡辺 慎介(著)、岩波書店)の第1章(ベクトルの基本的性質)、1-3(スカラー積)、問題5の解答を求めてみる。

直線の方程式は、 l、mを方向余弦として

l x + m y - p = 0

と表すことができる。

これが 2点

( 3 , 0 ) , ( 0 , 4 )

を通るので、

3 l - p = 0 4 m - p = 0
l = p 3 m = p 4
1 3 x + 1 4 y - 1 = 0 4 x + 3 y - 12 = 0

この直線に原点から下ろした垂線の長さについて、方向余弦l、 m は

l 2 + m 2 = 1

を満たすので、

p 2 9 + p 2 16 = 1
25 p 2 = 144
p = 12 5

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Show[
    ContourPlot[
        {
            4 x + 3 y - 12 == 0,
            x == 3,
            y == 4
        },
        {x, -5, 5},
        {y, -5, 5},
        PlotLegends -> "Expressions",
        FrameLabel -> Automatic,
        Axes -> True
    ],
    ParametricPlot[{4, 3} / Norm[{4, 3}] t, {t, 0, 12/5}, PlotStyle -> Red]
]
Output