ベクトルの基本的性質スカラー積直線上の任意の点と原点との距離、最小値、垂線の長さ

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ベクトル解析演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (戸田盛和(著)、渡辺慎介(著)、岩波書店)の第1章(ベクトルの基本的性質)、1-3(スカラー積)、問題6の解答を求めてみる。

直線のパラメーター方程式は

(x, y) = (3, 0) + t (- 3, 4)

原点との距離。

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(3 - 3 t)}^{2} + {(4 t)}^{2}} = \sqrt{25 t^{2} - 18 t + 9}

最小となる場合を考える。

25 t^{2} - 18 t + 9 = 25 (t^{2} - \frac{18}{25} t) + 9 = 25 {(t - \frac{9}{25})}^{2} - \frac{9^{2}}{25} + 9

よって最小値は

\sqrt{- \frac{9^{2}}{25} + 9} = \frac{3}{5} \sqrt{- 9 + 25} = \frac{3}{5} \cdot \sqrt{16} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5}

問題5の結果と一致していることを確認できた。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

v[t] := {3, 0} + t ({0, 4} - {3, 0})

Norm[v[t]]

Plot[{Norm[v[t]], 12 / 5}, {t, -5, 5}]

ParametricPlot[Evaluate[v[t]], {t, -5, 5}]