数学のブログ

ベクトルの基本的性質 スカラー積 直線の方程式、ヘッセの標準形、方向余弦

ベクトル解析演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (戸田 盛和(著)、渡辺 慎介(著)、岩波書店)の第1章(ベクトルの基本的性質)、1-3(スカラー積)、問題4の解答を求めてみる。

原点 O からひとつの直線に引いた垂線を表すベクトルを

r 1 = ( x 1 , y 1 )

とする。

直線上の任意の位置ベクトルを

r = ( x , y )

とする。

このとき、

r - r 1

は垂線の足と直線上の任意の点を結ぶベクトルであるから、垂線を表す位置ベクトルと直交するので、

r 1 · ( r - r 1 ) = 0

これを成分で書くと、

( x 1 , y 1 ) · ( ( x , y ) - ( x 1 , y 1 ) ) = 0 x 1 ( x - x 1 ) + y 1 ( y - y 1 ) = 0

これを

p = x 1 2 + y 1 2

で割ると、

x 1 p ( x - x 1 ) + y 1 p ( y - y 1 ) = 0 x 1 p x + y 1 p y + x 1 2 + y 1 2 p = 0 x 1 p x + y 1 p y - p 2 p = 0 x 1 p x + y 1 p y - p = 0

さらに垂線の方向余弦

l = x 1 p , m = y 1 p

を用いると、

l x + l y - p = 0