ベクトルの基本的性質スカラー積直線の方程式、ヘッセの標準形、方向余弦

学習環境

ベクトル解析演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (戸田盛和(著)、渡辺慎介(著)、岩波書店)の第1章(ベクトルの基本的性質)、1-3(スカラー積)、問題4の解答を求めてみる。

原点 O からひとつの直線に引いた垂線を表すベクトルを

r_{1} = (x_{1}, y_{1})

とする。

直線上の任意の位置ベクトルを

r = (x, y)

とする。

このとき、

r - r_{1}

は垂線の足と直線上の任意の点を結ぶベクトルであるから、垂線を表す位置ベクトルと直交するので、

r_{1} \cdot (r - r_{1}) = 0

これを成分で書くと、

\begin{array}{l} (x_{1}, y_{1}) \cdot ((x, y) - (x_{1}, y_{1})) = 0 \\ x_{1} (x - x_{1}) + y_{1} (y - y_{1}) = 0 \end{array}

これを

p = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}

で割ると、

\begin{array}{l} \frac{x_{1}}{p} (x - x_{1}) + \frac{y_{1}}{p} (y - y_{1}) = 0 \\ \frac{x_{1}}{p} x + \frac{y_{1}}{p} y + \frac{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}{p} = 0 \\ \frac{x_{1}}{p} x + \frac{y_{1}}{p} y - \frac{p^{2}}{p} = 0 \\ \frac{x_{1}}{p} x + \frac{y_{1}}{p} y - p = 0 \end{array}

さらに垂線の方向余弦

l = \frac{x_{1}}{p}, m = \frac{y_{1}}{p}

を用いると、

l x + l y - p = 0