数学のブログ

ベクトルの基本的性質 スカラー積 平面の方程式、原点との距離、垂線

ベクトル解析演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (戸田 盛和(著)、渡辺 慎介(著)、岩波書店)の第1章(ベクトルの基本的性質)、1-3(スカラー積)、問題7の解答を求めてみる。

平面の方程式は、

l x + m y + n z - p = 0

（l、 m 、 n は方向余弦）

3点

( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , 3 )

を通るので、

l - p = 0 2 m - p = 0 3 n - p = 0

である。

よって、 求める平面の 方程式は、

p x + 1 2 p y + 1 3 z - p = 0 6 x + 3 y + 2 z = 6

また、 方向余弦について、

l 2 + m 2 + n 2 = 1

なので、

p 2 + 1 4 p 2 + 1 9 p 2 = 1 p 2 = 36 49

よって、原点からこの平面に下ろした垂線の長さは

p = 6 7

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Show[
    ContourPlot3D[6x+3y+2z == 6, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, {z, -5, 5},
                 BoxRatios -> {1, 1, 1}],
    ParametricPlot3D[{6, 3, 2} t, {t, -5, 5}, Axes -> True]
]
Output