数学のブログ

ベクトルの内積 内積の定義と性質 絶対値、非負

内積・外積・空間図形を通してベクトルを深く理解しよう (数学のかんどころ 1) (飯高 茂(著, 編集)、中村 滋(編集)、岡部 恒治(編集)、桑田 孝泰(編集)、共立出版)の第2章(ベクトルの内積)、2.1(内積の定義と性質)、絶対値の問題2.5の解答を求めてみる。

a 2 - a · b + b 2
= ( a - 1 2 b ) 2 - 1 4 b 2 + b 2
= ( a - 1 2 b ) 2 + 3 4 b 2
≥ 0 + 3 4 0
= 0

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = {a1, a2, a3};
b = {b1, b2, b3};

a . a - a . b + b . b >= 0
Output
Simplify[%]
Output
Simplify[%, Element[Flatten[{a, b}], Reals]]
Output
Table[
    a . a - a . b + b . b >= 0,
    {a, RandomInteger[{-10, 10}, {10, 3}]},
    {b, RandomInteger[{-10, 10}, {10, 3}]}
]
Output