ベクトルの内積内積の定義と性質可換律、分配律、スカラー倍

学習環境

内積・外積・空間図形を通してベクトルを深く理解しよう (数学のかんどころ 1) (飯高茂(著, 編集)、中村滋(編集)、岡部恒治(編集)、桑田孝泰(編集)、共立出版)の第2章(ベクトルの内積)、2.1(内積の定義と性質)の問題2.3の解答を求めてみる。

(a + b) \cdot (a - b)

= (a + b) \cdot a + (a + b) \cdot (- b)

= a^{2} + b \cdot a - (a + b) \cdot b

= a^{2} + a \cdot b - a \cdot b - b^{2}

= a^{2} - b^{2}

{(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2}

= (a + b) \cdot a + (a + b) \cdot b + (a - b) \cdot a + (a - b) \cdot (- b)

= a^{2} + b \cdot a + a \cdot b + b^{2} + a^{2} - b \cdot a - (a - b) \cdot b

= a^{2} + a \cdot b + a \cdot b + b^{2} + a^{2} - a \cdot b - a \cdot b + b^{2}

= 2 a^{2} + 2 b^{2}

= 2 (a^{2} + b^{2})

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = {x1, y1, z1};
b = {x2, y2, z2};

a . a - b . b == (a + b) . (a - b)

Simplify[%]

(a + b)^2 + (a - b)^2 == 2(a^2 + b^2)

Simplify[%]