“離散的”な世界等比数列の和初項、公比、項数

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、等比数列の和の問17の解答を求めてみる。

\frac{3 (2^{6} - 1)}{2 - 1} = 189

\frac{9 (1 - {(- \frac{1}{3})}^{7})}{1 - (- \frac{1}{3})} = 3^{2} \cdot \frac{3^{7} + 1}{3^{7}} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2188}{4 \cdot 3^{4}} = \frac{547}{81}

\frac{3 (1 - {(- 2)}^{8})}{1 - (- 2)} = - 255

一般項。

a_{n} = {(- 2)}^{n - 1}

和。

\frac{1 - {(- 2)}^{n}}{1 - (- 2)} = \frac{1 - {(- 2)}^{n}}{3}

その頃、公比はそれぞれ

3, \frac{1}{3}

はじめの n 項の和。

\frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{n})}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9 (1 - {(\frac{1}{3})}^{n})}{2}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Sum[3 2^(n-1), {n, 1, 6}]

Sum[9 (-1/3)^(n-1), {n, 1, 7}]

Sum[3 (-2)^(n-1), {n, 8}]

-255

Sum[(-2)^(n-1), {n, 1, n}]

Sum[3 (1/3)^(n-1), {n, 1, n}]

% == 9 (1 - (1/3)^n) / 2

Simplify[%]