“離散的”な世界数学的帰納法と数列数学的帰納法 2の累乗、平方の逆数、級数、不等式

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数学的帰納法の問30の解答を求めてみる。

2^{5} = 32 > 25 = 5^{2}

また、

2^{n} = 2 \cdot 2^{n - 1}

> 2 \cdot {(n - 1)}^{2}

\begin{array}{l} 2 {(n - 1)}^{2} - n^{2} = 0 \\ n^{2} - 4 n + 2 = 0 \end{array}

n = 2 \pm \sqrt{4 - 2} = 2 \pm \sqrt{2}

\begin{array}{l} n > 5 \\ 2 {(n - 1)}^{2} - n^{2} > 0 \\ 2 {(n - 1)}^{2} > n^{2} \end{array}

よって

2^{n} > n^{2}

ゆえに帰納法により成り立つ。

（証明終）

\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} < \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 2 - \frac{1}{2}

また、

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} = \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{n^{2}}

< 2 - \frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n^{2}}

= 2 - (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n^{2}})

= 2 - \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} (n - 1)}

< 2 - \frac{n^{2} - n}{n^{2} (n - 1)}

= 2 - \frac{1}{n}

よって帰納法より成り立つ。

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

2^(n + 4) > (n + 4)^2

Simplify[%, Element[n, PositiveIntegers]]

Table[
    2^n > n^2,
    {n, 5, 15}
]

Table[
    Sum[1/k^2, {k, 1, n}] < 2 - 1/n,
    {n, 2, 12}
]