数学のブログ

“離散的”な世界 数学的帰納法と数列 数学的帰納法 自然数、剰余

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数学的帰納法の問29の解答を求めてみる。

8n-7n-1
=8(8n-1-7(n-1)-1)+8·7(n-1)+8-7n-1
=8(8n-1-7(n-1)-1)+56n-56+8-7n-1
=8(8n-1-7(n-1)-1)+49n-49

よって、帰納法よりすべての自然数に対して49で割り切れる。

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a[n] := 8^n-7n-1

Mod[an[n], 49]
Output
Simplify[%, Element[n, NonNegativeIntegers]]
Output
an[n+1] - an[n]
Output
Simplify[%]
Output
Mod[%, 49]
Output
Mod[Table[an[n], {n, 0, 10, 1}], 49]

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}