数学のブログ

“離散的”な世界 数学的帰納法と数列 数学的帰納法 自然数、剰余

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数学的帰納法の問29の解答を求めてみる。

8 n - 7 n - 1
= 8 ( 8 n - 1 - 7 ( n - 1 ) - 1 ) + 8 · 7 ( n - 1 ) + 8 - 7 n - 1
= 8 ( 8 n - 1 - 7 ( n - 1 ) - 1 ) + 56 n - 56 + 8 - 7 n - 1
= 8 ( 8 n - 1 - 7 ( n - 1 ) - 1 ) + 49 n - 49

よって、帰納法よりすべての自然数に対して49で割り切れる。

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a[n] := 8^n-7n-1

Mod[an[n], 49]
Output
Simplify[%, Element[n, NonNegativeIntegers]]
Output
an[n+1] - an[n]
Output
Simplify[%]
Output
Mod[%, 49]
Output
Mod[Table[an[n], {n, 0, 10, 1}], 49]

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}