“離散的”な世界数学的帰納法と数列数学的帰納法累乗の平均と平均の累乗、不等式

学習環境

新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数学的帰納法の問31の解答を求めてみる。

\frac{a^{2} + b^{2}}{2} - {(\frac{a + b}{2})}^{2}

= \frac{1}{4} (2 a^{2} + 2 b^{2} - a^{2} - 2 a b - b^{2})

= \frac{1}{4} (a^{2} - 2 a b + b^{2})

= \frac{1}{4} {(a - b)}^{2}

> 0

よって、

\frac{a^{2} + b^{2}}{2} > {(\frac{a + b}{2})}^{2}

また、

\frac{a^{n} + b^{n}}{2} - {(\frac{a + b}{2})}^{n}

= \frac{a^{n} + b^{n}}{2} - {(\frac{a + b}{2})}^{n - 1} \frac{a + b}{2}

> \frac{a^{n} + b^{n}}{2} - \frac{a^{n - 1} + b^{n - 1}}{2} \cdot \frac{a + b}{2}

= \frac{1}{4} (2 a^{n} + 2 b^{n} - a^{n} - a b^{n - 1} - a^{n - 1} b - b^{n})

= \frac{1}{4} (a^{n} + b^{n} - a b^{n - 1} - a^{n - 1} b)

= \frac{1}{4} (a^{n - 1} - b^{n - 1}) (a - b)

場合分け。

a > b

ならば

\begin{array}{l} a^{n - 1} - b^{n - 1} > 0 \\ a - b > 0 \\ (a^{h - 1} - b^{n - 1}) (a - b) > 0 \end{array}

a < b

ならば

\begin{array}{l} a^{n - 1} - b^{n - 1} < 0 \\ a - b < 0 \\ (a^{h - 1} - b^{n - 1}) (a - b) > 0 \end{array}

よって

\frac{a^{n} + b^{n}}{2} > {(\frac{a + b}{2})}^{n}

ゆえに、帰納法により成り立つ。

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

(a^(n+1) + b^(n+1)) / 2 > ((a+b)/2)^n

Simplify[%, Element[n, PositiveIntegers] && Element[{a, b}, PositiveReals]]

Manipulate[
    Plot3D[{(a^n+b^n) / 2, ((a+b)/2)^n}, {a, 1, 10}, {b, 1, 10}],
    {n, 2, 10, 1}
]