数学のブログ

“離散的”な世界 数学的帰納法と数列 数学的帰納法 級数、平方等

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数学的帰納法の問28の解答を求めてみる。

∑ k = 1 n k 2 = 1 6 ( n - 1 ) ( ( n - 1 ) + 1 ) ( 2 ( n - 1 ) + 1 ) + n 2
= 1 6 ( n - 1 ) n ( 2 n - 1 ) + n 2
= 1 6 n ( ( n - 1 ) ( 2 n - 1 ) + 6 n )
= 1 6 n ( 2 n 2 + 3 n + 1 )
= 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

よって帰納法により、

∑ k = 1 n k 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

（証明終）

2

∑ k = 1 n 1 ( k + 1 ) = n - 1 ( n - 1 ) + 1 + 1 n ( n + 1 )
= n - 1 n + 1 n ( n + 1 )
= n 2 - 1 + 1 n ( n + 1 )
= n n + 1

よって帰納法により成り立つ。

（証明終）

3

∑ k = 1 n k ( k + 1 ) ( k + 2 ) = 1 4 ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) + n ( n + 1 ) ( n + 2 )
= 1 4 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( ( n - 1 ) + 4 )
= 1 4 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )

よって帰納法により成り立つ。

（証明終）

4

∑ k = 1 n ( 1 2 k - 1 - 1 2 k ) = ∑ k = 1 n - 1 1 ( n - 1 ) + k + 1 2 n
= ∑ k = 1 n - 1 1 n + k + 1 n + n
= ∑ k = 1 n 1 n + k

よって帰納法により成り立つ。

（証明終）

5

∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) 2 - ( 2 k ) 2 = - ( n - 1 ) ( 2 ( n - 1 ) + 1 ) + ( ( 2 n - 1 ) 2 - ( 2 n ) 2 )
= - ( n - 1 ) ( 2 n - 1 ) + ( 2 n - 1 - 2 n ) ( 2 n - 1 + 2 n )
= - ( n - 1 ) ( 2 n - 1 ) - ( 4 n - 1 )
= - 2 n 2 + 3 n - 1 - 4 n + 1
= - 2 n 2 - n
= - n ( 2 n + 1 )

コード(Wolfram Language, Jupyter)

ans = {k^2, 1 / (k + 1), k (k + 1) (k + 2), 1 / (2k - 1) - 1/(2k), (2k - 1)^2-(2k)^2}
Output
s = Sum[ans, {k, 1, n}]
Output
Column[Simplify[%]]
Output
% // TraditionalForm
Output
s[[2]] == n/(n + 1)
Output
Table[
    Plot[an, {k, 1, 10}],
    {an, ans}
] // Column
Output