“離散的”な世界数学的帰納法と数列数列の帰納的定義漸化式、推定、一次方程式の解、差、等比数列

学習環境

新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問33の解答を求めてみる。

推定により求める。

\begin{array}{l} a_{1} = 1 \\ a_{2} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3} \\ a_{3} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1}{7} \\ a_{4} = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{7} + 2} = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{15} = \frac{1}{15} \\ a_{5} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{15} + 2} = \frac{1}{15} \cdot \frac{1 \cdot 5}{31} = \frac{1}{31} \end{array}

\frac{1}{2^{1} - 1} = 1 = a_{1}

a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 2} = \frac{\frac{1}{2^{n} - 1}}{\frac{1}{2^{n} - 1} + 2} = \frac{1}{2^{n} - 1} \cdot \frac{2^{n - 1}}{2^{n + 1} - 1} = \frac{1}{2^{n + 1} - 1}

よって帰納法により一般項は、

a_{n} = \frac{1}{2^{n} - 1}

新たな数列を作って求める。

一般項が

b_{n} = \frac{1}{a_{n}}

という数列を考える。

b_{n + 1} = \frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{a_{n} + 2}{a_{n}} = 2 b_{n} + 1

\begin{array}{l} x = 2 x + 1 \\ x = - 1 \end{array}

\begin{array}{l} b_{n + 1} + 1 = 2 (b_{n} + 1) \\ b_{1} + 1 = \frac{1}{a_{1}} + 1 = 1 + 1 = 2 \end{array}

よって数列

{(b_{n} + 1)}_{n \in ℕ \ {0}}

は初項2、公比2の等比数列なので、

b_{n} + 1 = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}

ゆえに、

\begin{array}{l} \frac{1}{a_{n}} + 1 = 2^{n} \\ \frac{1}{a_{n}} = 2^{n} - 1 \\ a_{n} = \frac{1}{2^{n} - 1} \end{array}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a[n_] := 1/ (2^n-1)

a[1] == 1

a[n+1] == a[n]/(a[n] + 2)

Simplify[%]

ListLinePlot[Table[a[k], {k, 1, 10}]]