“離散的”な世界数学的帰納法と数列数列の帰納的定義平面を分ける直線、分けられた個数、漸化式、等差数列

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問34の解答を求めてみる。

問題の条件としたたすn本の直線によって平面が分けられる個数を

a_{n}

とおく。

このとき、

\begin{array}{l} a_{1} = 2 \\ a_{2} = 4 \\ a_{3} = 7 \\ a_{4} = 11 \\ a_{5} = 16 \end{array}

漸化式。

a_{n + 1} = a_{n} + n + 1

よって、この階差数列は

b_{n} = a_{n + 1} - a_{n} = n + 1

ゆえに、

\begin{array}{l} n \geq 2 \\ a_{n} = 2 + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k} = 2 + \sum_{k = 1}^{n - 1} k + (n - 1) = n + 1 + \frac{n (n - 1)}{2} = \frac{n^{2} + n + 2}{2} \end{array}

また、

a_{1} = 2 = \frac{1^{2} + 1 + 2}{2}

よって、平面上の n本の直線でどの2本も平行ではなく、また、どの3本も同一の点で交わらないものは、平面を

\frac{n^{2} + n + 2}{2}

個の部分に分ける。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Plot[
    Evaluate[Table[
        i / 3 x + 3 / i,
        {i, 1, 3}
    ]],
    {x, 0, 5}
]