“離散的”な世界数列とその和階差数列と一般項等差数列と等比数列の階差数列

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、階差数列と一般項の問24の解答を求めてみる。

等差数列の一般項を

a_{n} = a + (n - 1) d

とおくと、

a_{n + 1} - a_{n} = (a + n d) - (a + (n - 1) d) = d

よって、階差数列は公差をdとすれば、

{(d)}_{n \in ℕ}

公比が1ではない等比数列の一般項を

\begin{array}{l} a_{n} = a r^{n - 1} \\ r \neq 1 \end{array}

とおくと、

a_{n + 1} - a_{n} = a r^{n} - a r^{n - 1} = a (r - 1) r^{n - 1}

よって、階差数列は、

{(a (r - 1) r^{n - 1})}_{n \in ℕ \ {0}}

すなわち、初項、公比のがそれぞれ

a (r - 1), r

の公比数列。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

an[n_] := a + (n - 1)d

bn[n_] := an[n+1] - an[n]

Table[bn[n], {n, 1, 10}]

{d, d, d, d, d, d, d, d, d, d}

an[n_] := a r^(n - 1)

bn[n_] := an[n+1] - an[n]

Table[bn[n], {n, 1, 10}]

Simplify[%]

% // TraditionalForm