“離散的”な世界数列とその和階差数列と一般項等差数列と等比数列の階差数列と級数

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、階差数列と一般項の問25の解答を求めてみる。

階差数列。

1, 3, 5, 7, 9, \dots

階差数列の一般項。

b_{n} = 2 n - 1

数列の一般項。

a_{n} = 2 + \sum_{k = 1}^{n - 1} (2 k - 1)

= 2 + 2 \sum_{k = 1}^{n - 1} k - \sum_{k = 1}^{n - 1} 1

= 2 + 2 \cdot \frac{(n - 1) n}{2} - (n - 1)

= 2 + {(n - 1)}^{2}

= n^{2} - 2 n + 3

階差数列。

1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, \dots

階差数列の一般項。

b_{n} = {(- 3)}^{n - 1}

数列の一般項。

a_{n} = 3 + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{n}

= 3 + \sum_{k = 1}^{n - 1} {(- 3)}^{k - 1}

= 3 + \frac{1 - {(- 3)}^{n - 1}}{1 - (- 3)}

= 3 + \frac{1}{4} (1 - {(- 3)}^{n - 1})

= \frac{1}{4} (13 - {(- 3)}^{n - 1})

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Table[n^2-2n+3, {n, 1, 10, 1}]

{2, 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, 66, 83}

Table[1/4(13-(-3)^(n-1)), {n, 1, 10, 1}]

{3, 4, 1, 10, -17, 64, -179, 550, -1637, 4924}