“離散的”な世界数列とその和数列の和と一般項差

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、数列の和と一般項の問26の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} n \geq 2 \\ a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 3^{n} - 3^{n - 1} = 3^{n - 1} (3 - 1) = 2 \cdot 3^{n - 1} \end{array}

また、

S_{1} = 3

よって、一般項は、

\begin{array}{l} a_{1} = 3 \\ n \geq 2 \\ a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} \end{array}

\begin{array}{l} n \geq 2 \\ a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \\ = (n^{3} - n) - ({(n - 1)}^{3} - (n - 1)) \\ = n^{3} - n - {(n - 1)}^{3} + n - 1 \\ = n^{3} - n - n^{3} + 3 n^{2} - 3 n + 1 + n - 1 \\ = 3 n^{2} - 3 n \end{array}

また、

a_{1} = S_{1} = 1^{3} - 1 = 0 = 3 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1

よって、一般項は、

a_{n} = 3 n^{2} - 3 n

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a[1_] := 3
a[n_] := 2 3^(n-1);

Table[a[k], {k, 1, 10}]

{3, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, 39366}

s[n_] := 3^n

Table[s[n] - s[n - 1], {n, 2, 10}]

{6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, 39366}

a[n_] := 3n^2 - 3n

Sum[a[k], {k, 1, n}]

Expand[%]

% // TraditionalForm