“離散的”な世界数列とその和和の記号Σ

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、和の記号Σの問18の解答を求めてみる。

\sum_{k = 1}^{n} k^{2}

2
初項5、公差4なので一般項は

a_{n} = 5 + (n - 1) 4 = 1 + 4 n

よって、

\begin{array}{l} 1 + 4 n = 41 \\ n = 10 \end{array}

なので41は第10項。

よって、

\sum_{n = 1}^{10} (4 n + 1)

\sum_{k = 1}^{6} (2 k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

\sum_{i = 0}^{4} \frac{1}{2^{i}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}

\sum_{j = 1}^{n} j (j + 1) = 2 + 6 + 12 + 20 + \dots + n (n + 1)

\sum_{k = 3}^{7} k^{3} = 27 + 64 + 125 + 246 + 343