数学のブログ

“離散的”な世界 数列とその和 その他の数列 部分分数分解

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、その他の数列の問22の解答を求めてみる。

1

一般項。

a n = 1 ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )

部分分数分解。

a n = 1 2 ( 1 2 n - 1 - 1 2 n + 1 )

よって この数列の第n頃までの和は

∑ k = 1 n a k
= 1 2 ∑ k = 1 n ( 1 2 k - 1 - 1 2 k + 1 )
= 1 2 ( 1 2 - 1 - 1 2 n + 1 )
= 1 2 ( 1 - 1 2 n + 1 )
= 1 2 2 n 2 n + 1
= n 2 n + 1

2

∑ k = 1 n 1 k ( k + 1 )
= ∑ k = 1 n ( 1 k - 1 k + 1 )
= 1 - 1 n + 1
= n n + 1

3

∑ k = 1 n ( 1 ∑ j = 1 k j )
= ∑ k = 1 n 1 k ( k + 1 ) 2
= ∑ k = 1 n 2 k ( k + 1 )
= 2 ∑ k = 1 n ( 1 k - 1 k + 1 )
= 2 ( 1 - 1 n + 1 )
= 2 n n + 1

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Sum[1/((2k-1)(2k+1)), {k, 1, n}]
Output
Simplify[%]
Output
TraditionalForm[%]
Output
Sum[1/(k(k+1)), {k, 1, n}]
Output
% // Simplify // TraditionalForm
Output
Sum[1 / Sum[j, {j, 1, k}], {k, 1, n}]
Output
% // Simplify // TraditionalForm
Output