“離散的”な世界数列とその和その他の数列等比数列

学習環境

新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、その他の数列の問23の解答を求めてみる。

(1 - 2) \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k - 1}

= \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k - 1} - \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k}

= \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k - 1} - \sum_{k = 2}^{n + 1} (k - 1) \cdot 2^{k - 1}

= 1 + \sum_{k = 2}^{n} 2^{k - 1} - n \cdot 2^{n}

= \sum_{k = 1}^{n} 2^{k - 1} - n \cdot 2^{n}

= \frac{1 - 2^{n}}{1 - 2} - n \cdot 2^{n}

よって、求める数列の最初のn項の和は、

\sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k - 1} = \frac{1}{1 - 2} (\frac{1 - 2^{n}}{1 - 2} - n \cdot 2^{n})

= 1 - 2^{n} + n \cdot 2^{n}

= (n - 1) \cdot 2^{n} + 1

\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) \cdot 2^{k}

= 4 \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k - 1} - 2 \sum_{k = 1}^{n} 2^{k - 1}

= 4 ((n - 1) 2^{n} + 1) - 2 \cdot \frac{1 - 2^{n}}{1 - 2}

= 4 (n - 1) 2^{n} + 4 + 2 (1 - 2^{n})

= (2 n - 3) \cdot 2^{n + 1} + 6

(1 - \frac{1}{3}) \sum_{k = 1}^{n} \frac{2 k - 1}{3^{k}}

= \sum_{k = 1}^{n} \frac{2 k - 1}{3^{k}} - \sum_{k = 1}^{n} \frac{2 k - 1}{3^{k + 1}}

= \sum_{k = 1}^{n} \frac{2 k - 1}{3^{k}} - \sum_{k = 2}^{n + 1} \frac{2 (k - 1) - 1}{3^{k}}

= \frac{1}{3} + 2 \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{3^{k}} - \frac{2 n - 1}{3^{n + 1}}

= 2 \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{3^{k}} - \frac{1}{3} - \frac{2 n - 1}{3^{n + 1}}

= 1 - \frac{1}{3^{n}} - \frac{1}{3} - \frac{2 n - 1}{3^{n + 1}}

= \frac{2}{3} - \frac{2 n + 2}{3^{n + 1}}

よって、求める数列の最初のn項の和は、

\sum_{k = 1}^{n} \frac{2 k - 1}{3^{k}}

= \frac{3}{2} (\frac{2}{3} - \frac{2 n + 2}{3^{n + 1}})

= 1 - \frac{n + 1}{3^{n}}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Sum[k 2^(k - 1), {k, 1, n}]

Sum[(2k-1)2^k, {k, 1, n}]

Sum[(2k-1) / 3^k, {k, 1, n}]