数学のブログ

連続写像の空間ノルム空間閉区間上位で定義された実連続関数全体が作るベクトル空間、的積分と絶対値によるノルムの定義、完備性

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第13章(連続写像の空間)、13.1(ノルム空間)、問題2の解答を求めてみる。

任意の

f, g \in C ([0, 1], ℝ), c \in ℝ

に対して

{∥ f ∥}_{1} = \int_{0}^{1} | f (x) | dx \geq 0

また、

{∥ f ∥}_{1} = \int_{0}^{1} | f (x) | dx = 0

ならば

f = 0

スカラー倍について、

{∥ c f ∥}_{1} = \int_{0}^{1} | c f (x) | dx = \int_{0}^{1} | c | | f (x) | dx = | c | \int_{0}^{1} | f (x) | dx = | c | {∥ f ∥}_{1}

また、

{∥ f + g ∥}_{1}

= \int_{0}^{1} | f (x) + g (x) | dx

\leq \int_{0}^{1} (| f (x) | + | g (x) |) dx

= \int_{0}^{1} | f (x) | dx + \int_{0}^{1} | g (x) | dx

= {∥ f ∥}_{1} + {∥ g ∥}_{1}

よって、

{∥ f ∥}_{1} = \int_{0}^{1} | f (x) | dx

は V 上のノルムである。

（証明終）

完備性について。

\begin{array}{l} f_{n} : [0, 1] \to ℝ \\ f_{n} (x) = 1 - n x (0 \leq x \leq \frac{1}{n}) \\ f_{n} (x) = 0 (\frac{1}{n} \leq x \leq 1) \end{array}

とおくと、これは連続写像なので、

f_{n} \in C ([0, 1], ℝ)

また、

\begin{array}{l} m < n \\ {∥ f_{m} - f_{n} ∥}_{1} \end{array}

= \int_{0}^{1} | f_{m} (x) - f_{n} (x) | dx

= \int_{0}^{\frac{1}{n}} | (1 - m x) - (1 - n x) | dx + \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{1}{m}} (1 - m x) dx

= \int_{0}^{\frac{1}{n}} (n - m) x dx + (\frac{1}{m} - \frac{1}{n}) - \frac{m}{2} (\frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}})

= (n - m) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{m} - \frac{1}{n} - \frac{m}{2} (\frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}})

よって、

{(f_{n})}_{n \in ℕ}

はコーシー列である。

また、

\lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = {\begin{cases} 1 (x = 0) \\ 0 (x > 0) \end{cases}

なので、

C ([0, 1], ℝ)

の元ではない。

ゆえに、完備ではない。

（証明終）