数学のブログ

連続写像の空間ノルム空間定義、1次平均ノルム、最大値ノルム(無限大ノルム、一様ノルム)

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第13章(連続写像の空間)、13.1(ノルム空間)、問題1の解答を求めてみる。

任意の

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n}

に対して、

{| x |}_{1} = \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} | \geq 0

また、

{| x |}_{1} = 0

ならば

\begin{array}{l} x_{i} = 0 \\ (i = 1, \dots, n) \end{array}

なので

x = 0

任意の実数 c に対して

{| c x |}_{1} = \sum_{i = 1}^{n} | c x_{i} | = | c | \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} | = | c | {| x |}_{1}

任意の

y = (y_{1}, \dots, y_{n}) \in ℝ^{n}

に対して、

{| x + y |}_{1} = \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} + y_{i} | \leq \sum_{i = 1}^{n} (| x_{i} | + | y_{i} |) = \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} | + \sum_{i = 1}^{n} | y_{i} | = {| x |}_{1} + {| y |}_{1}

よって、

{| x |}_{1}

は

ℝ^{n}

上のノルムである。

同様に、

{| x |}_{\infty} = \max {| x_{1} |, \dots, | x_{n} |} \geq 0

\begin{array}{l} {| x |}_{\infty} = 0 \\ x_{1} = \dots = x_{n} = 0 \\ x = 0 \end{array}

\begin{array}{l} {| c x |}_{\infty} = \max {| c x_{1} |, \dots, | c x_{n} |} = \max {| c | | x_{1} |, \dots, | c | | x_{n} |} \\ = | c | \max {| x_{1} |, \dots, | x_{n} |} = {| x |}_{\infty} \end{array}

{| x + y |}_{\infty}

= \max {| x_{1} + y_{1} |, \dots, | x_{n} + y_{n} |}

\leq \max {| x_{1} | + | y_{1} |, \dots, | x_{n} | + | y_{n} |}

\leq \max {| x_{1} |, \dots, | x_{n} |} + \max {| y_{1} |, \dots, | y_{n} |}

= {| x |}_{\infty} + {| y |}_{\infty}

よって、

{| x |}_{\infty}

はノルムである。

（証明終）