距離空間の世界 R^nにおける曲線曲線の長さ、サイクロイド、三角関数、正弦と余弦、加法定理、倍角

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.4(R^nにおける曲線)、問題6の解答を求めてみる。

\int_{0}^{2 π} ∥ \frac{d}{dt} γ (t) ∥ dt

= \int_{0}^{2 π} ∥ (a (1 - \cos t), a (\sin t)) ∥ dt

= \int_{0}^{2 π} \sqrt{a^{2} (1 - 2 \cos t + \cos^{2} t) + a^{2} \sin^{2} t} dt

= a \int_{0}^{2 π} \sqrt{2 - 2 \cos t} dt

= \sqrt{2} a \int_{0}^{2 π} \sqrt{1 - \cos t} dt

= \sqrt{2} a \int_{0}^{2 π} \sqrt{\cos (\frac{t}{2} - \frac{t}{2}) - \cos (\frac{t}{2} + \frac{t}{2})} dt

= \sqrt{2} a \int_{0}^{2 π} \sqrt{2 \sin^{2} \frac{t}{2}} dt

= 2 a \int_{0}^{2 π} \sin \frac{t}{2} dt

= - 4 a {[\cos \frac{t}{2}]}_{0}^{2 π}

= - 4 a (- 1 - 1)

= 8 a

Wolfram

x = a (t - Sin[t])

y = a (1 - Cos[t])

x1 = D[x, t]

y1 = D[y, t]

Integrate[Sqrt[x1^2 + y1^2], {t, 0, 2 Pi}]

f[a_] := ParametricPlot[{a (t - Sin[t]), a (1 - Cos[t])}, {t, 0, 2 Pi}]

f[1]

f[2]

f[a_] := ParametricPlot[{a (t - Sin[t]), a (1 - Cos[t])}, {t, -10, 10}]

f[1]

f[2]