距離空間の世界 連結性 連結部分集合、連結成分であるための十分条件、開閉集合
解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.3(連結性)、問題4の解答を求めてみる。
x を C の 1つの元、 A を
を満たす 距離空間 X の 任意の部分集合とする。
このとき、 問題の仮定より A において、 C は閉集合なので
は開集合である。
また、 C は開集合でもあり、
よって、 A は連結ではない。
ゆえに、 C は x を含む最大の部分集合である。
よって、 C は X の連結成分である。
（証明終）