距離空間の世界 連結性 連結成分が有限個の場合、連結成分、開閉集合
解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.3(連結性)、問題3の解答を求めてみる。
問題の距離空間の連続成分を
とおく。
を任意の連結成分とする。
任意の連結成分は X の閉集合なので、 これは閉集合である。
また、
を除く連結成分も閉集合で、その有限個の和集合も閉集合である。
よって、その補集合である
は開集合である。
ゆえに、
は開閉集合である。
（証明終）