距離空間の世界連結ではあるが弧状連結ではない空間、平面、2次元、実数

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.3(連結性)、問題8の解答を求めてみる。

\bar{A_{2}}

は連結で、

A_{1} \subset \bar{A_{2}}

なので、

A_{2} \subset A_{1} \cup A_{2} \subset \bar{A_{2}}

よって、

A = A_{1} \cup A_{2}

は連続である。

また、

A_{1}

の点 a と

A_{2}

の点 b は A 内で弧で結ぶことができないので、 A は弧状連結ではない。

（証明終）