数学のブログ

距離空間の世界実数全体の集合、2次元、濃度対等と同相、全単射な連続写像

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
楽天ブックス
Yahoo!

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.3(連結性)、問題7の解答を求めてみる。

ℝ, ℝ^{2}

は濃度対等なので、全単射

f : ℝ^{2} \to ℝ

が存在する。

f は連続写像であると仮定する。

a である実数として、

\begin{array}{l} g_{a} : ℝ \to ℝ \\ g_{a} (x) = f (x, a) \end{array}

という写像を考える

このとき、これは連続写像である。

また、これは単射である。

また、これは全射ではないので、

g_{a} (ℝ) = f (ℝ, a)

は開区間である。

また、

U_{a \in ℝ} g_{a} (ℝ) = f (ℝ, ℝ) = ℝ

これは、実数全体の集合が連結ではないということになるが、実数全体の集合は連結なので矛盾。

よって、 f は連続写像ではない。

ゆえに、

ℝ, ℝ^{2}

は同相ではありえない。

（証明終）