距離空間の世界 実数全体の集合、有理数全体の集合、部分集合、完全不連結、無理数
解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.3(連結性)、問題5の解答を求めてみる。
A を有理数を2個以上含む実数の部分集合とし、 a、 bをA の異なる2元とする。
また、 c を
を満たす無理数とする。
このとき、
とおくと、
で、 C、 D は開集合である。
よって、 A は連続ではない。
ゆえに、 有理数全体の集合は、実数全体の集合の地方集会をして、完全不連結である。
（証明終）