視点が動くと〜ムービング・フレーム〜曲線のムービング・フレーム曲率、弧長パラメーター、一般のパラメーター

学習環境

新装版　幾何学は微分しないと　〜微分幾何学入門〜 (中内伸光(著)、現代数学社)の第2章(視点が動くと〜ムービング・フレーム〜)、2.1(曲線のムービング・フレーム)の練習問題2.1の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} x' (s) = \frac{dx}{dt} \frac{dt}{d s} \\ y' (s) = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{d s} \end{array}

\begin{array}{l} x'' (s) = \frac{d^{2} x}{{dt}^{2}} \frac{dt}{d s} \frac{dt}{d s} + \frac{dx}{dt} \frac{d^{2} t}{d s^{2}} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} {(\frac{dt}{d s})}^{2} + \frac{dx}{dt} \frac{d^{2} t}{d s^{2}} \\ y'' (s) = \frac{d^{2} y}{d t^{2}} {(\frac{dt}{d s})}^{2} + \frac{dy}{dt} \frac{d^{2} t}{d s^{2}} \end{array}

なので、

k (s) = x' (s) y'' (s) - x'' (s) y' (s)

= \frac{dx}{dt} \frac{dt}{d s} (\frac{d^{2} y}{{dt}^{2}} {(\frac{dt}{d s})}^{2} + \frac{dy}{dt} \frac{d^{2} t}{d s^{2}}) - (\frac{d^{2} x}{{dt}^{2}} {(\frac{dt}{d s})}^{2} + \frac{dx}{dt} \frac{d^{2} t}{d s^{2}}) \frac{dy}{dt} \frac{dt}{d s}

= \frac{dx}{dt} \frac{d^{2} y}{{dt}^{2}} {(\frac{dt}{d s})}^{3} - \frac{d^{2} x}{{dt}^{2}} \frac{dy}{dt} {(\frac{dt}{d s})}^{3}

= (\frac{dx}{dt} \frac{d^{2} y}{{dt}^{2}} - \frac{d^{2} x}{{dt}^{2}} \frac{dy}{dt}) {(\frac{dt}{d s})}^{3}

また、弧長パラメーターであることから、

\sqrt{x' {(s)}^{2} + y' {(s)}^{2}} = 1

({(\frac{dx}{dt})}^{2} + {(\frac{dy}{dt})}^{2}) {(\frac{dt}{d s})}^{2} = 1

\frac{dt}{d s} = \frac{1}{\sqrt{{(\frac{dx}{dt})}^{2} + {(\frac{dy}{dt})}^{2}}}

よって、

k (t) = \frac{\frac{dx}{dt} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - \frac{d^{2} x}{{dt}^{2}} \frac{dy}{dt}}{{({(\frac{dx}{dt})}^{2} + {(\frac{dy}{dt})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}