数学のブログ

視点が動くと 〜ムービング・フレーム〜 曲線のムービング・フレーム 曲率、弧長パラメーター、一般のパラメーター

新装版 幾何学は微分しないと 〜微分幾何学入門〜 (中内伸光(著)、現代数学社)の第2章(視点が動くと 〜ムービング・フレーム〜)、2.1(曲線のムービング・フレーム)の練習問題2.1の解答を求めてみる。

x ' ( s ) = dx dt dt d s y ' ( s ) = dy dt dt d s
x ' ' ( s ) = d 2 x dt 2 dt d s dt d s + dx dt d 2 t d s 2 = d 2 x d t 2 ( dt d s ) 2 + dx dt d 2 t d s 2 y ' ' ( s ) = d 2 y d t 2 ( dt d s ) 2 + dy dt d 2 t d s 2

なので、

k ( s ) = x ' ( s ) y ' ' ( s ) - x ' ' ( s ) y ' ( s )
= dx dt dt d s ( d 2 y dt 2 ( dt d s ) 2 + dy dt d 2 t d s 2 ) - ( d 2 x dt 2 ( dt d s ) 2 + dx dt d 2 t d s 2 ) dy dt dt d s
= dx dt d 2 y dt 2 ( dt d s ) 3 - d 2 x dt 2 dy dt ( dt d s ) 3
= ( dx dt d 2 y dt 2 - d 2 x dt 2 dy dt ) ( dt d s ) 3

また、弧長パラメーターであることから、

x ' ( s ) 2 + y ' ( s ) 2 = 1
( ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 ) ( dt d s ) 2 = 1
dt d s = 1 ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2

よって、

k ( t ) = dx dt d 2 y d t 2 - d 2 x dt 2 dy dt ( ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 ) 3 2