行列と双線形写像双1次形式座標の変換、基底、転置行列

学習環境

ラング線形代数学(下) (ちくま学芸文庫) (S.ラング(著)、芹沢正三(翻訳)、筑摩書房)の8章(行列と双線形写像)、1(双1次形式)、練習問題2の解答を求めてみる。

i d ([\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]) = a_{11} [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] + a_{21} [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] + a_{31} [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

\begin{array}{l} a_{11} = 1 \\ a_{21} = 1 \\ a_{31} = 0 \end{array}

i d ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]) = a_{12} [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] + a_{22} [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] + a_{32} [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

\begin{array}{l} a_{12} = 0 \\ a_{22} = 1 \\ a_{32} = 0 \end{array}

i d ([\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}]) = a_{13} [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] + a_{23} [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] + a_{33} [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

\begin{array}{l} a_{13} = 1 \\ a_{23} = 1 \\ a_{33} = 1 \end{array}

N = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

N^{T} [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}] N

= [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}] N

= [\begin{matrix} 0 & 3 & 4 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

= [\begin{matrix} 3 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 9 \end{matrix}]