数学のブログ

行列と双線形写像 双1次形式 定積分によるスカラー積の定義、ある基底に関する行列

ラング線形代数学(下) (ちくま学芸文庫) (S.ラング(著)、芹沢 正三(翻訳)、筑摩書房)の8章(行列と双線形写像)、1(双1次形式)、練習問題4の解答を求めてみる。

f = ∑ k = 0 n x k t k g = ∑ k = 0 n y k t k

と表すことができる。

よって

⟨ f , g ⟩
= ∫ 0 1 f ( t ) g ( t ) dt
= ∫ 0 1 ( ∑ k = 0 n x k t k ) ( ∑ = 0 n y k t k ) dt
= ∑ i , j = 0 n x i y j ∫ 0 1 t i + j dt
= ∑ i , j = 0 n x i y j 1 i + j + 1

ゆえに、 求めるスカラー積

⟨ f , g ⟩ = ∫ 0 1 f ( t ) g ( t ) dt

の基底

{ 1 , t , … , t n }

に関する行列は、

( 1 i + j + 1 )

（成分表示）