数学のブログ

行列と双線形写像 双1次形式 三角関数、正弦と余弦、加法定理、倍角、定積分によるスカラー積の定義、基底に関する行列

ラング線形代数学(下) (ちくま学芸文庫) (S.ラング(著)、芹沢 正三(翻訳)、筑摩書房)の8章(行列と双線形写像)、1(双1次形式)、練習問題5の解答を求めてみる。

f ( t ) = x 1 sin t + x 2 cos t g ( t ) = y 1 sin t + y 2 cos t

と表すことができる。

このとき、

⟨ f , g ⟩
= ∫ - π π f ( t ) g ( t ) dt
= ∫ - π π ( x 1 y 1 sin 2 t + x 1 y 2 sin t cos t + x 2 y 1 sin t cos t + x 2 y 2 cos 2 t ) dt
= 2 x 1 y 1 ∫ 0 π sin 2 t dt + ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) ∫ - π π sin t cos t dt + 2 x 2 y 2 ∫ 0 π cos 2 t dt
= 2 x 1 y 1 ∫ 0 π 1 - cos 2 t 2 dt + ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) ∫ - π π sin 2 t 2 dt + 2 x 2 y 2 ∫ 0 π 1 + cos 2 t 2 dt
= x 1 y 1 [ t - sin 2 t 2 ] 0 π + ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) [ - cos 2 t 4 ] - π π + x 2 y 2 [ t + sin 2 t 2 ] 0 π
= x 1 y 1 π + x 2 y 2 π

よって、 問題のスカラー積 の与えられた基底

{ sin t , cos t }

に関するスカラー積の行列は、

[ π 0 0 π ]

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Integrate[(x1 Sin[t] + x2 Cos[t]) (y1 Sin[t] + y2 Cos[t]), {t, -Pi, Pi}]
Output