数学のブログ

簡にして要を得る 〜弧長パラメーターと曲率〜 曲線のパラメーター だ円、アルキメデスの螺旋、サイクロイドの接ベクトル、微分

新装版　幾何学は微分しないと　〜微分幾何学入門〜 (中内伸光(著)、現代数学社)の第1章(簡にして要を得る 〜弧長パラメーターと曲率〜)、1.2(曲線のパラメーター)の練習問題1.1の解答を求めてみる。

例1

C ' ( t ) = ( d dt a ( cos t ) , d dt b sin t ) = ( - a ( sin t ) , b cos t )

例2

C ' ( t ) = ( a ( cos t ) - a t sin t , a ( sin t ) + a t cos t )

例3

C ' ( t ) = ( a ( 1 - cos t ) , a ( sin t ) )

コード(Wolfram Language, Jupyter)

x[t_] := 2 Cos[t];
y[t_] := 3 Sin[t];

p = ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, 0, 2 Pi}]
Output
{x'[t], y'[t]}
Output
Arrow[{{x[1], y[1]}, {x'[1], y'[1]}}]
Output
Graphics[{%}]
Output
Show[
    p, Graphics[{Arrow[{{x[1], y[1]}, {x[1] + x'[1], y[1] + y'[1]}}]}]]
Output
Show[
    ParametricPlot[{x[s], y[s]}, {s, 0, 2 Pi}, PlotRange -> {-5, 5}],
    Graphics[Table[Arrow[{{x[t], y[t]}, {x[t] + x'[t], y[t] + y'[t]}}], {t, 0, 2 Pi, 0.5}]]
]
Output
a = 2

2
x[t_] := a t Cos[t];
y[t_] := a t Sin[t];

D[{x[t], y[t]}, t]
Output
Show[
    ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, 0, 10}, PlotRange -> {-50, 50}],
    Graphics[Table[Arrow[{{x[t], y[t]}, {x[t] + x'[t], y[t] + y'[t]}}], {t, 0, 10, 0.5}]]
]
Output
x[t_] := a(t-Sin[t]);
y[t_] := a(1 - Cos[t]);

D[{x[t], y[t]}, t]
Output
Show[
    ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, -10, 10}, PlotRange -> {-20, 20}],
    Graphics[Table[Arrow[{{x[t], y[t]}, {x[t] + x'[t], y[t] + y'[t]}}], {t, -10, 10}]]
]
Output